第200章 本我宇宙世界→順心意

 柯西定理（Cauchy"s integral theorem）指出，如果函數f(z)在複平面上的某個簡單閉曲線及該曲線所圍成的區域內解析，那麼沿著該閉合曲線的積分為零，即： 

 ∮C f(z) dz = 0 

 這裡的積分是沿著曲線C進行的，而f(z)是一個在區域d內解析的函數。柯西定理的證明通常依賴於複變函數的冪級數展開以及留數定理。下面給出一個簡化的證明概要： 

 局部解析性： 首先，我們可以將閉合曲線C劃分為許多小的子曲線C_i，每個子曲線都包含在一個足夠小的圓盤內，在這個圓盤內，f(z)可以用其在該圓盤中心的泰勒級數展開來表示： 

 f(z) = Σ [a_n (z - z_0)^n] 

 其中，z_0是子曲線C_i的圓心，a_n是對應的係數。 

 積分線變形： 由於f(z)在整個區域d內解析，我們可以將曲線C變形為一系列半徑趨於零的圓圈的並集，而不改變積分的值。這是因為積分路徑的選擇對於解析函數的積分來說是無關緊要的（路徑獨立性）。 

 留數定理： 根據留數定理，一個函數在一個封閉區域內的積分為該區域內所有孤立奇點的留數之和。由於f(z)在區域d內解析，它在d內沒有奇點，因此其留數為零。 

 積分計算： 由於曲線C可以變形為一個圓，其半徑趨近於零，且f(z)在該圓內的泰勒級數展開的每一項都是分析的，我們可以計算出沿著這個圓的積分為零。因此，沿著整個曲線C的積分也為零： 

 ∮C f(z) dz = 0 

 這就完成了柯西定理的證明概要。需要注意的是，這個證明是高度簡化的，實際的證明需要更精細的數學論證，包括對函數解析性的嚴格定義以及積分路徑變形的詳細討論。 

 也就是說： 

 任意一個封閉曲線C或者說封閉曲面v，它們的積分都為零→0，具體舉個例子哈： 

 讓我們通過一個具體的例子來展示如何應用柯西定理解決實際問題。 

 假設我們需要計算下列定積分： 

 ∫[?r to r] (x^2 ? r^2) / (x^4 + 4r^4) dx 

 這裡，r ＞ 0 是一個實數。我們可以利用柯西定理來簡化這個積分的計算。 

 首先，我們注意到被積函數可以寫成兩個函數之差的形式： 

 f(x) = (x^2 ? r^2) / (x^4 + 4r^4) = g(x) ? h(x) 

 其中，g(x) = x^2 / (x^4 + 4r^4) 和 h(x) = r^2 / (x^4 + 4r^4)。 

 接下來，我們考慮函數g(x)和h(x)在複平面上的行為。我們可以觀察到，g(x)和h(x)都是在整個複平面上解析的，除了在x = ±2ri處可能有奇點。然而，由於我們只對實數區間[?r, r]進行積分，這些奇點對於我們的計算來說是不相關的。 

 現在，我們可以應用柯西定理。我們構造一個以原點為中心、半徑為r的半圓路徑C，然後在實軸上從?r到r延伸。由於g(x)和h(x)在C上都是解析的，我們可以將積分路徑從實軸延伸到半圓路徑C，而不會改變積分的值。